Александр Китайгородский - Физика для всех. Движение. Теплота

Вектор v1 есть векторная сумма u1 и u2. Но ведь это означает, что длины векторов-скоростей образуют треугольник.

Что же это за треугольник? Вспомним теорему Пифагора. Ее выражает наше второе уравнение. Это значит, что треугольник скоростей должен быть прямоугольным с гипотенузой v1 и катетами u1 и u2. Значит, u1 и u2 образуют между собой прямой угол. Этот интересный результат показывает, что при любом косом упругом ударе тела равной массы разлетаются под прямым углом.

В некоторых случаях равновесие очень трудно поддержать – попробуйте пройтись по натянутому канату. В то же время никто не награждает аплодисментами сидящего в кресле-качалке. А ведь он тоже поддерживает свое равновесие.

В чем же разница в этих двух примерах? В каком случае равновесие устанавливается «само собой»?

Условие равновесия как будто бы очевидно. Чтобы тело не смещалось из своего положения, действующие на него силы должны уравновешиваться; иными словами, сумма этих сил должна равняться нулю. Это условие действительно необходимо для равновесия тела, но достаточно ли оно?

На рис. 41 изображен профиль горки, которую нетрудно соорудить из картона. Шарик будет вести себя по-разному в зависимости оттого, на какое место горки его положить. В любой точке на склоне горы на шарик будет действовать сила, которая заставит его покатиться вниз. Этой действующей силой является сила тяжести, вернее ее проекция на направление касательной линии к профилю горки, проведенной в точке, которая нас интересует. Понятно поэтому, что чем более пологий склон, тем меньше будет действующая на шарик сила.

Нас прежде всего интересуют те точки, в которых сила тяжести полностью уравновешивается реакцией опоры, а значит результирующая сила, действующая на шарик, равна нулю. Это условие будет соблюдено на вершинах горки и в нижних точках – ложбинках. Касательные к этим точкам горизонтальны, и результирующие силы, действующие на шарик, равны нулю.

Однако на вершинах, несмотря на то, что результирующая сила равна нулю, шарик расположить не удастся, а если и удастся, то мы сразу обнаружим побочную причину этой удачи – трение. Небольшой толчок или легкое дуновение преодолеют силы трения, шарик стронется с места и покатится вниз.

Для гладкого шарика на гладкой горке положением равновесия будут только низкие точки ложбинок. Если толчком или струей воздуха вывести шарик из этого положения, шарик вернется в него сам по себе.

В ложбине, ямке, углублении тело, несомненно, находится в равновесии. Отклонившись от этого положения, тело попадает под действие силы, возвращающей его обратно. В положениях на вершинах горки картина другая: если тело отошло от этого положения, то на него действует не возвращающая, а «удаляющая» сила. Следовательно, результирующая сила, равная нулю, – необходимое, но не достаточное условие устойчивого равновесия.

Равновесие шарика на горке можно рассматривать и с другой точки зрения. Места ложбинок соответствуют минимумам, а места вершин – максимумам потенциальной энергии. Изменению положений, в которых потенциальная энергия минимальна, препятствует закон сохранения энергии. Такое изменение сделало бы кинетическую энергию отрицательной, а это невозможно. Совсем иначе обстоит дело в точках вершин. Уход из этих точек связан с уменьшением потенциальной энергии, а значит, не с уменьшением, а с увеличением кинетической энергии.

Итак, в положении равновесия потенциальная энергия должна иметь минимальное значение по сравнению с ее значениями в соседних точках.

Чем глубже ямка, тем больше устойчивость. Закон сохранения энергии нам известен, поэтому можно сразу сказать, при каких условиях тело выкатится из углубления. Для этого нужно сообщить телу кинетическую энергию, которой хватило бы для поднятия его до борта ямки. Чем яма глубже, тем большая кинетическая энергия нужна для нарушения устойчивого равновесия.

Если толкнуть шарик, лежащий в углублении, он начнет двигаться в гору, постепенно теряя кинетическую энергию. Когда она будет потеряна полностью, произойдет мгновенная остановка и начнется движение вниз. Теперь уже потенциальная энергия будет переходить в кинетическую. Шарик наберет скорость, проскочит положение равновесия по инерции и опять начнет подъем, только в противоположную сторону. Если трение незначительно, то такое движение «вверх – вниз» может продолжаться очень долго, а в идеальном случае – при отсутствии трения – оно будет длиться вечно.

Таким образом, движения вблизи положения устойчивого равновесия всегда имеют колебательный характер.

Для изучения колебания, пожалуй, более пригоден маятник, чем шарик, перекатывающийся в ямке. Хотя бы потому, что у маятника легче свести к минимуму трение.

Когда грузик маятника отклонен в крайнее положение, скорость и кинетическая энергия его равны нулю. Потенциальная энергия в этот момент наибольшая. Грузик идет вниз – потенциальная энергия уменьшается и переходит в кинетическую. Значит и скорость движения возрастает. Когда грузик проходит наинизшее положение, его потенциальная энергия наименьшая и соответственно кинетическая энергия и скорость максимальны. При дальнейшем движении грузик снова поднимается. Теперь скорость убывает, потенциальная энергия возрастает.

Если отвлечься от потерь на трение, то грузик отклонится на такое же расстояние вправо, на какое он первоначально был отклонен влево. Потенциальная энергия перешла в кинетическую, а затем в том же количестве создалась «новая» потенциальная энергия. Мы описали первую половину одного колебания. Вторая половина протекает так же, только грузик движется в обратную сторону.

Колебательное движение является движением повторяющимся, или, как говорят, периодическим. Возвращаясь к исходной точке, грузик каждый раз повторяет свое движение (если не учитывать изменений в результате трения) как в отношении пути, так и в отношении скорости и ускорения. Время, затрачиваемое на одно колебание, т.е. на возвращение в исходную точку, одинаково для первого, второго и всех последующих колебаний. Это время – одна из важнейших характеристик колебания – называется периодом, мы будем обозначать его буквой T. Через время T движение повторяется, т.е. через время T мы всегда найдем колеблющееся тело в том же месте пространства и движущимся в ту же сторону. Через полпериода смещение тела, а также направление движения изменят знак. Так как период T есть время одного колебания, то число n колебаний в единицу времени будет равно 1/T.

От чего же зависит период колебания тела, движущегося вблизи положения устойчивого равновесия? В частности, от чего зависит период колебания маятника? Первым поставил и решил этот вопрос Галилей. Формулу периода колебания маятника мы сейчас выведем.

Однако трудно элементарным путем применять законы механики к неравномерно-ускоренному движению. Поэтому, чтобы обойти эту трудность, заставим грузик маятника не колебаться в вертикальной плоскости, а описывать окружность, оставаясь все время на одной высоте. Такое движение создать нетрудно, надо лишь дать начальный толчок отведенному от положения равновесия маятнику точно в направлении, перпендикулярном к радиусу отклонения, и подобрать силу этого толчка.

На рис. 42 изображен такой «круговой маятник».

Грузик с массой m движется по кругу. Значит, кроме силы тяжести mg, на него действует центробежная сила mv2/r, которую мы можем представить и в виде 4π2n2rm. Здесь n – число оборотов в секунду. Поэтому выражение для центробежной силы можно записать и так: m·(4π2r/T2). Равнодействующая этих двух сил натягивает нить маятника.

На рисунке заштрихованы два подобных треугольника – треугольники сил и расстояний. Отношения соответствующих катетов равны, значит

От каких же причин зависит период колебания маятника? Если мы производим опыты в одном и том же месте земного шара (g не меняется), то период колебания зависит лишь от разности высот точки подвеса и точки нахождения груза. Масса груза, как и всегда в поле тяжести, не сказывается на периоде колебания.

Интересно следующее обстоятельство. Мы изучаем движение вблизи положения устойчивого равновесия. При малых же отклонениях разность высот h мы можем заменить длиной маятника l. Легко проверить это. Если длина маятника 1 м, а радиус отклонения 1 см, то